Problemas del Milenio

Los
Los problemas del Milenio 

• Los Problemas del Milenio son los siete enigmas matemáticos que el Instituto Clay enunció en el año 2000 como los más importantes por resolver en la disciplina. Una Medalla Fields y un millón de dólares como recompensa se otorgarán al que consiga resolver cada uno de ellos. De eso hace ya 15 años y, oficialmente, solo uno ha sido resuelto (aunque puede que la respuesta parcial a otro) haya sido también formulada recientemente).

Matemáticos de todo el mundo trabajan en las soluciones y cada vez que se logra un avance significativo , es publicado para que toda la comunidad lo compruebe , lo valide y lo incorpore a sus desarrollos.

1. El problema de P vs Np

trata, básicamente, de saber si hay problemas intrínsecamente difíciles o simplemente es que no hemos dado con una buena forma de resolver cualquier problema
Se llama conjunto de problemas P a aquellos para los que existe un modo eficiente de encontrar una solución. El conjunto de problemas NP, por su parte, está formado por aquellos para los que existe un método eficaz de verificar que una respuesta es, efectivamente, una solución. 

La conjetura de Hodge:

La conjetura de Hodge afirma que para los tipos especialmente útiles de  espacios llamados variedades algebraicas proyectivas, los “bloques de construcción“ llamados ciclos de Hodge son en realidad  combinaciones (racionales lineales) de otros bloques geométricos llamadas ciclos algebraicos. Veamos que significa esto y que aplicaciones tiene. La conjetura de Hodge, de ser cierta, probaría que hay un camino a un nivel muy profundo entre muchas ramas de las matemáticas que, hasta ahora, parecen conectadas solo parcialmente

3. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura que lanzaron los británicos Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer a principios de los 60 es un problema sobre ecuaciones.
Todo cambia cuando en una ecuación hay más variables, como por ejemplo xy+x-2y=0. El mundo de las ecuaciones de varias variables es muy complicado. Cuando hay más de dos, es muy difícil saber en la mayoría de los casos cuántas soluciones tiene, ni siquiera si tiene un número finito o infinito de ellas

Los matemáticos se preguntan qué ecuaciones tienen soluciones racionales. Y la respuesta depende del grado de la ecuación.

Para las ecuaciones de dos variables de grado 2 o menor hay un método específico de descubrir si la ecuación tiene soluciones racionales o no. Este método funciona siempre y en un número determinado de pasos. Cuando el grado es tres o más, conocemos un método que también funciona, pero nadie ha podido demostrar que funcione siempre.

Ha habido muchos intentos de resolver esta conjetura, y se ha conseguido demostrar para algunos casos particulares, pero nadie lo ha conseguido en general.

4. La hipótesis de Riemann

En el siglo XIX, el alemán Bernhard Riemann extendió a los números complejos una famosa función que el suizo Leonhard Euler había construido para los números reales, definiendo así lo que hoy se llama función zeta de Riemann. Riemann se dedicó a estudiar para qué valores esa función se anula, se hace cero. Existen infinitos ceros; por ejemplo, todos los números pares anulan la función zeta de Riemann, así que son ceros de esa función. Son los llamados ceros triviales.

Pero existen muchos otros ceros no triviales, que son los números que el matemático quería encontrar. Logró hallar muchas propiedades que un número complejo debía cumplir para ser un cero no trivial.

5.Hipótesis de Poincaré

 La conjetura de Poincaré es un resultado sobre la esfera tridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dejó de ser una conjetura para convertirse en un teorema tras su comprobación en 2003 por el matemático Grigori Perelman. El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto.

La teoría de Yang-Mills

Hace casi 50 años, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y las ecuaciones de la física de partículas que luego resultaron de gran utilidad para unificar tres de las interacciones fundamentales de la materia en una sola teoría. A pesar de ello, nadie ha demostrado que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.

Ecuaciones de Navier-Stokes

Existe desde el siglo XIX un conjunto de ecuaciones que permite estudiar las turbulencias en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones.